Về biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert

Tóm tắt

Một dãy đếm được các vectơ $ \\mathcal{F} = \\{f_k\\}_{k=1}^{\\infty} $ trong không gian Hilbert $\\mathcal{H}$ được gọi là {\\it khung} của không gian này nếu tồn tại các hằng số $A$ và $B$, $0< \\infty$ sao cho
\\begin{equation*}
A \\|f\\|^2\\leq \\sum_{k=1}^{\\infty}| \\left\\langle {f,f_k}\\right\\rangle |^2\\leq B\\Arrowvert f \\Arrowvert ^2 \\quad \\text{với mọi } f \\in \\mathcal{H}
\\end{equation*}
Các hằng số $A,B >0$ trên tương ứng được gọi là {\\it biên khung dưới} và {\\it biên khung trên}. Ta gọi {\\it biên khung dưới tốt nhất } là supremum của tất cả các biên khung dưới, còn {\\it biên khung trên tốt nhất } là infimum của tất cả các biên khung trên. Hiển nhiên các biên khung tốt nhất có ý nghĩa rất quan trọng. Trong bài báo này chúng tôi sẽ xây dựng công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ví dụ áp dụng.